Números Enteros (Z) - Propiedades

Propiedades de operaciones de números enteros

Además de las propiedades de los números enteros como un conjunto, también se tiene que las operaciones que se pueden realizar con estos números también tienen sus propiedades como:

Las propiedades de la multiplicación de números enteros

Tienen que ser operados a través de sus factores, y dependiendo de la cantidad de números con signo negativo, el resultado podría cambiar también de signo con la siguiente lógica:

+⋅+=+

+⋅−=−

−⋅+=−

−⋅−=+

Sus propiedades de multiplicación son la asociativa que habla de que los factores se pueden asociar cuando se multiplican entre sí:

(a×b)×c=a×(b×c)

La propiedad conmutativa que dice que el orden de los factores no altera el producto:

a×b=b×a

El elemento neutro que es la unidad 1, la cual no altera el resultado al multiplicarse:

a×1=a

La propiedad distributiva con respecto a la suma que dicta que los factores se distribuyan en la suma cuando en una ecuación existan ambas operaciones:

a×(b+c)=(a×b)+(a×c)

Propiedades de adición de números enteros

Las propiedades de la adición también se pueden dividir de la misma forma.
La propiedad asociativa, que puede asociar los sumandos a conveniencia:

(a+b)+c=a+(b+c)

La propiedad conmutativa, que dice que los sumandos pueden variar su orden, sin alterar el resultado. Aunque esto también se puede aplicar para las sustracciones, siempre que se tome a la suma como tal:

a+b=b+a

a−b=a+(−b)=(−b)+a

El elemento neutro de la suma seria el 0 pues no cambia el resultado:

a+0=a

Mientras que el elemento opuesto, es aquel que sumado con su valor entero, tiene como resultado el elemento neutro, 0:

a+(−a)=0

Esto concluye nuestra discusión sobre propiedades de números enteros.

Acá les dejo un video con algunas explicaciones, quizás a este profe le entiendan mas que a mi...

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Operaciones con Enteros PDF

Resumen de Teoría de Situaciones Didácticas

Aquí les dejo el video que proyectamos en clases sobre las Situaciones Didácticas...

 

El tenerlo a mano les va a permitir tomar notas, si es que uds lo prefieren...

Sistema de Numeración Decimal

NUESTRO SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL

Nuestro Sistema de numeración tiene dos características fundamentales: es decimal y posicional.

1.- DECIMAL: porque utilizamos 10 cifras (símbolos) para construir todos los números. 
Por lo tanto 1 unidad de cualquier orden equivale a 10 unidades de orden inmediato inferior y a la inversa 10 unidades de cualquier orden constituyen 1 unidad del orden inmediato superior. 
Cuando en un número no hay algún orden de unidades se completa su lugar con la cifra cero. 
Por ejemplo: 1 centena equivale a 10 decenas y 10 centenas equivalen a un millar.

2.- POSICIONAL: porque el valor que representa cada cifra, depende de la posición que ocupa dentro del número. 
Por ejemplo en el número 853 396 aparece dos veces la cifra <3> y tiene distinto valor dependiendo de su posición dentro del número. Contando de derecha a izquierda el primer tres representa las unidades y equivale, por tanto, a tres unidades. En cambio el segundo tres representa las unidades de mil y equivale, por lo tanto, a tres mil unidades.

Con sólo diez cifras podemos formar cualquier número de nuestro sistema de numeración.

RESUMIENDO

• Es un sistema decimal porque diez unidades de un determinado orden corresponden a una unidad del orden superior.
• El sistema de numeración decimal utiliza como base el número 10.
• Por ser un sistema posicional, el valor que tiene cada número o dígito va a depender de su posición dentro de la cifra numérica.
• La suma de todos los dígitos del número multiplicado por cada potencia nos dará el valor de dicho número.

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Conjuntos Numéricos

Concepto de Conjunto Numérico

Los conjuntos numéricos son agrupaciones de números que guardan una serie de propiedades estructurales.
Por ejemplo el sistema más usual en aritmética natural está formado por el conjunto de los números naturales, con la suma, la multiplicación y las relaciones usuales de orden aditivo.

Conjunto de los Números Naturales (N).
N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,.......}

El conjunto de los números naturales surgió de la necesidad de contar, lo cual se manifiesta en el ser humano desde sus inicios.
Este conjunto se caracteriza porque:

• Tiene un número infinito de elementos
• Cada elemento tiene un sucesor y todos, excepto el 1, un antecesor.
• El sucesor de un número natural se obtiene sumando uno (+1); el antecesor se obtiene restando uno (-1).

Conjunto de los Números Enteros (Z).
Z = { ..... –3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}

El Conjunto de los números enteros surge de la necesidad de dar solución general a la sustracción, pues cuando el sustraendo es mayor que el minuendo, esta sustracción no tiene solución en los Conjuntos Naturales y Cardinales (por ejemplo: 5 – 20 = ¿?).
Debido a esto, la recta numérica se extiende hacia la izquierda, de modo que a cada punto que representa un número natural le corresponda un punto simétrico, situado a la izquierda del cero. Punto simétrico es aquel que está ubicado a igual distancia del cero (uno a la derecha y el otro a la izquierda de él).
 

Z = N^- U Conjunto de los Números Enteros negativos.
Z = Tiene 3 Subconjuntos:

• Enteros Negativos: Z ^-
• Enteros Positivos: Z ⁺
• Enteros Positivos y el Cero: Z⁺ U {0}

Por lo tanto, el Conjunto de los números enteros es la unión de los tres subconjuntos mencionados.
Z = Z ^-   U   {0}   U   Z ⁺ 

Conjunto de los Números Racionales (Q).
Q = {....- ¾, - ½, - ¼ , 0, ¼ , ½, ¾,.....}


El conjunto de los números racionales se creó debido a las limitaciones de cálculo que se presentaban en el conjunto de los números naturales y números enteros.
 
Por ejemplo, sólo se puede dividir en el conjunto de los números enteros si y sólo si el dividendo es múltiplo, distinto de cero, del divisor. Para solucionar esta dificultad, se creó este conjunto, el cual está formado por todos los números de la forma a/b. Esta fracción en la cual el numerador es a, es un número entero y el denominador b, es un número entero distinto de cero.
 
El conjunto de los números racionales (Q) se ha construido a partir del conjunto de los números enteros (Z).

Se expresa por comprensión como: Q = { a/b tal que a y b  € Z; y b≠ 0 }

Este conjunto se representa gráficamente, dividiendo cada intervalo de una recta numérica en espacios iguales, que representen números enteros. Cada una de estas subdivisiones representa una fracción con denominador igual al número de partes de la subdivisión.
Cada fracción es un número racional y cada número racional consta de infinitas fracciones equivalentes.

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Sistema de numeración Binario

El sistema de numeración binario utiliza sólo dos dígitos, el cero (0) y el uno (1).

En una cifra binaria, cada dígito tiene distinto valor dependiendo de la posición que ocupe. El valor de cada posición es el de una potencia de base 2, elevada a un exponente igual a la posición del dígito menos uno. Se puede observar que, tal y como ocurría con el sistema decimal, la base de la potencia coincide con la cantidad de dígitos utilizados (2) para representar los números.

De acuerdo con estas reglas, el número binario 1011 tiene un valor que se calcula así:

1*2³ + 0*2² + 1*2¹ + 1*2⁰ , es decir:

8 + 0 + 2 + 1 = 11

y para expresar que ambas cifras describen la misma cantidad lo escribimos así:

1011₂ = 11₁₀

Conversión de un número Decimal a Binario

Convertir un número decimal al sistema binario es muy sencillo: basta con realizar divisiones sucesivas por 2 y escribir los restos obtenidos en cada división en orden inverso al que han sido obtenidos.

Por ejemplo, para convertir al sistema binario el número 77₁₀ haremos una serie de divisiones que arrojarán los restos siguientes:

77 : 2 = 38 Resto: 1

38 : 2 = 19 Resto: 0

19 : 2 = 9 Resto: 1

9 : 2 = 4 Resto: 1

4 : 2 = 2 Resto: 0

2 : 2 = 1 Resto: 0

1 : 2 = 0 Resto: 1

y, tomando los restos en orden inverso obtenemos la cifra binaria:

77₁₀ = 1001101₂

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Sistema de numeración Romano

Reglas del Sistema Romano

La numeración romana se basa en el empleo de siete letras del alfabeto latino, a las que corresponde un valor numérico fijo:

I (= 1), V (= 5), X (=10), L (= 50), C (= 100), D (= 500), M (= 1000)

Para escribir correctamente un número utilizando este sistema, es necesario tener en cuenta lo siguiente:

a) Los números romanos se escriben e interpretan de izquierda a derecha, en sentido decreciente, esto es, de los millares a las unidades: MDCCLVI [=1756].

b) No debe repetirse más de tres veces consecutivas una misma letra; así, el número 333 se escribe en romanos CCCXXXIII. (Pero 444 no puede escribirse CCCCXXXXIIII; se escribe CDXLIV)

c) Nunca se repetirá dos veces una letra si existe otra que por sí sola representa ese valor. (Por esto no puede escribirse VV para representar el número 10, porque ese valor lo representa la letra X)

Esta es la causa de que los signos V, L y D no se repitan nunca, pues el doble de su valor lo representan, respectivamente, los signos X, C y M.

d) Cuando una letra va seguida de otra de valor igual o inferior, se suman sus valores:

VI (= 6), XV (= 15), XXVII (= 27).

e) Cuando una letra va seguida de otra de valor superior, se le resta a la segunda el valor de la primera:

IV (= 4), IX (= 9), XL (= 40), XC (= 90), CD (= 400), CM (= 900).

f) Los signos V, L y D no se utilizan nunca como valor sustractivo. (por eso el número 45 debe escribirse XLV, y no VL)

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